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Forma de onda, espectro e espectrograma.



    Teorema de Fourier.

    Um sinal periódico qualquer é composto de (ou pode ser decomposto em) uma serie de ondas senoidais com freqüência múltiplas inteiras da freqüência  fundamental f, cada uma com uma determinada amplitude e uma determinada fase, mais uma componente continua (de freqüência zero).
As ondas senoidais múltiplas inteiras n da fundamental são chamadas harmônicos de ordem n.

    Qual é a conseqüência prática do teorema de Fourier ?
A onda senoidal é a onda mais simples ou pura que existe, pois se origina da projeção sobre uma reta de um ponto girando em circulo. A senoide tem uma única freqüência, e para completar a sua descrição basta indicar a sua amplitude (valor absoluto máximo atingido) e a sua fase.
    O espectro de uma senoide é uma raia (pois ocupa uma única freqüência), com altura igual a amplitude. No espectro, não é possível representar a fase da raia. (Em estudos teóricos, as vezes se representam raias com fase oposta e relação a outra para baixo do eixo de freqüência).
Para analisar um sinal complexo, basta decompo-lo em suas componentes senoidais e trabalhar com uma componente por vez. Portanto, é uma ferramenta importante para analise de sinais complexos.

    Definições:

    ESPECTRO : é a representação das componentes (ou raias ou termos) num gráfico que mostra suas amplitudes versus freqüência.

    FORMA DE ONDA : é a representação dos valores intantâneos em função do tempo.

    A figura seguinte mostra um exemplo de como se forma uma onda complexa (no caso uma onda quadrada simétrica) e o seu respectivo espectro. A forma de onda resultante (em amarelo) é o somatório a todo instante dos termos (em azul) :

    Uma onda quadrada simétrica (no eixo do tempo, semiperiodos iguais) é composta de uma infinidade de raias ou senoides correspondentes a fundamental e seus harmônicos impares.
A fundamental tem a mesma freqüência básica da onda quadrada. A fundamental e os harmônicos impares estão em fase na origem (função seno) (cuidado!: se usarmos função coseno, ou origem no máximo positivo da fundamental, os harmônicos 3, 7, 11,... tem fase contraria (180 graus) em relação aos termos 1, 5, 9, 13,... como pode ser visto na figura). O nível ou amplitude relativa dos harmônicos é o nível da fundamental dividido pela ordem n do harmônico em questão. Se a onda quadrada não for simétrica em relação ao eixo de freqüência, ou seja, tiver amplitude positiva diferente da negativa, é porque contem uma componente continua.
Como a onda da figura acima foi construída com harmônicos somente até a ordem 11, a sua forma de onda ainda não é perfeitamente quadrada.

    Para entender melhor a diferença, ou mais precisamente, a relação entre forma de onda e espectro, a figura seguinte mostra isto de forma tridimensional (em perspectiva para ser mais exato) para a onda quadrada da figura anterior :

    Os três eixos da figura em perspectiva acima são ortogonais, ou seja, estão todos a 90 graus um em relação ao outro. Por isso, quando vemos uma forma de onda, estamos colocando em um plano os eixos v e t, e estamos de frente para o eixo da freqüência, que fica perpendicular ao plano e portanto vira um ponto e fica invisível. Quando observamos o espectro de frente, é o eixo do tempo que se torna um ponto e fica invisível.
Comparando :  forma de onda e espectro portanto se relacionam como a vista de frente e a vista de lado em desenho industrial. É sabido que as vezes ainda precisamos de uma terceira vista para representar todos os detalhes de um objeto, ou seja, a vista de cima.

    O ESPECTROGRAMA  é exatamente a vista de cima da figura tridimensional anterior, ou seja, representa a evolução da freqüência dos termos (ou do espectro) do sinal em função do tempo. Agora o eixo invisível é a amplitude. Mesmo assim, podemos mostrar a amplitude dos termos usando uma escala de cores convencionada previamente (ou tons de cinza em preto e branco).
A figura seguinte mostra um exemplo de espectrograma de uma onda quadrada junto com a escala de cores para representar amplitudes relativas (feito com o Spectrogram ) :
    Observe a componente de maior nível (fundamental) em 1000 Hz com cor vermelha. O harmônico 9, em 9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Neste caso particular, o espectrograma não traz muita informação suplementar, em relação ao espectro, a não ser a confirmação de que a freqüência do sinal é constante no tempo. Entretanto, o espectrograma é de fundamental importância para analisar a evolução espectral de um sinal complexo e variável no tempo, como por exemplo, um sinal de voz ou audio.
A figura seguinte é o espectro do sinal, obtido clicando em cima de espectrograma :

    Obs. : o programa  RZ1  permite verificar interativamente a relação entre forma de onda e espectro. Permite qualquer combinação de amplitude e fase dos  termos de 0 até 11.
Permite também verificar qual é a dependência da forma de uma onda quadrada com o respectivo conteúdo harmônico.

    A figura seguinte é um exemplo de espectrograma do sinal de voz feminina dizendo "favor ligar mais tarde", com dois espectros instantâneos, correspondentes a um som vocal, o "A", onde se destacam raias chamadas formantes, e um som não vocal produzido pelo "sss" e que mais parece ruído branco em freqüências mais altas. Agora é bem visível a evolução do espectro com o tempo.

    Os espectros e o espectrograma acima foram feitos com o CoolEdit.

    O espectrograma também pode ser mostrado de forma tridimensional, como nos exemplos abaixo, onde o espectro e desenhado normalmente e em seguida empurrado para traz com um pequeno deslocamento para dar lugar a um novo espectro. Ficam portanto visíveis alem do espectro atual, os espectros passados no tempo.

Espectrograma 3D feito com o SpectraPLUS :

Espectrograma 3D feito com o SigView :

    Uma outra forma de elaborar o espectrograma é colocando o eixo de tempo na vertical e o da freqüência na horizontal, o que em tempo real fica semelhante a uma cascata ou waterfall :

E para finalizar, veja a semelhança entre partitura musical
e o espectrograma do som correspondente, na figura ao lado.
A partitura musical é a uma das formas mais antigas de espectrograma:
eixo vertical = frequencia, eixo horizontal = tempo.
 

    Veja também um programa muito interessante que transforma
imagens ou espectrogramas em som.
 

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